Düzlemsel trigonometride, iki boyutlu düzlemde (ve üçü de aynı doğru üzerinde yer almayan) üç noktayı doğru parçalarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan düzlemsel üçgenler söz konusudur. Küresel trigonometride ise, üç boyutlu kürenin iki boyutlu olan yüzeyinde (ve üçü de aynı büyük çember üzerinde yer almayan) uç noktayı büyük çember yaylarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan küresel üçgenler söz konusudur. Küresel trigonometri Eski Yunanda astronomiye ilişkin gereksinimleri karşılamak amacıyla ortaya çıktı ve gelişti. Küresel trigonometri aslında düzlemsel trigonometriyi de tümüyle içerir, ama düzlemsel trigonometri ancak 15. yüzyıl Avrupa’sında, topografya, ticaret ve denizciliğin gereksinimleri doğrultusunda kendi başına ve küresel trigonometriden bağımsız olarak gelişmiştir. Küresel trigonometri, düzlemsel geometriden daha önce ortaya çıkıp gelişmiş olmakla birlikte, ancak düzlemsel geometrinin temel ilkelerinin bilinmesiyle daha iyi anlaşılabilir.

Düzlemsel trigonometri aslında her tür düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır. Açılarından biri (x) 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90-x’a eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar |OD| hipotenüs, O ‘nun karşısındaki kenar |CD| karşı kenar, |OC| ‘ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur

Açı [değiştir]

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.

[OA ve [OB ışınlarına açının kenarları, O noktasına açının köşesi denir.

Yönlü Yaylar [değiştir]

Çember üzerinde açı pozitif yönlü ise yay da pozitif yönlü, açı negatif ise yay da negatif yönlü olarak alınır.
Kahrolsun matematik.allah bunu çıkartanın belasenı versin

Birim(Trigonometrik) Çember

Merkezi orijin ve yarıçarpı 1 birim olan çembere birim çember veya trigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi

şeklindedir.

Birim çemberde verilen bir noktası;

• 1.bölgede ise
• 2.bölgede ise
• 3.bölgede ise
• 4.bölgede ise dır.

Açı Ölçü Birimleri

• Açıyı ölçmek demek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.

Açı ölçü birimleri üç tanedir.

DERECE: Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir.

GRAD: Bir tam çember yayının 400 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 grad denir.

RADYAN: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.Çember yayının ölçüsü radyandır.

Sarma Fonksiyonu

Reel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan fonksiyona sarma fonksiyonu denir.

Sarma fonksiyonunu s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek;

• yazilabilir.

• oldugunda olur.

Bir Açının Esas Ölçüsü

a) Verilen açı ya da ise;

in esas ölçüsü kendisidir.

b) Verilen açı ya da ise;

in 360 a bölümünden kalan esas ölçüyü verir.

c) Verilen açı ise;

360 a bölümünden kalan olsun.

O halde, in esas ölçüsü dır.

Trigonometrik Fonksiyonlar

• sinüs (kısaltılmış biçimi; sin),
• kosinüs (cos),
• tanjant (tan ya da tg),
• sekant [sec),
• kosekant (cosec) ve
• kotanjant (cot)

olarak adlandırılır.

Bu tanımlardan görülebileceği gibi, bu fonksiyonlar arasında,

(Pisagor teoremi)

ilişkileri vardır.

Dik Üçgenlerde Bazı Açıların Trigonometrik Oranları



Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.

Nokta: Geometrinin tanımsız olan en temel elemanıdır.

Noktalar büyük harfle adlandırılır.

Doğru demeti : Bir noktadan geçen çok sayıdaki doğrulardan oluşan kümeye denir.    

Doğrusal noktalar : Aynı doğru üzerinde bulunan noktalardır.

Doğru: Doğru da nokta gibi tanımsızdır. Her iki yönden sınırsız uzayan noktalar cümlesidir. Bunun yanında  herhangi 2 nokta bir doğru belirtir.

İki noktadan yalnızca bir doğru geçer.

Bir noktadan sayısız doğru geçer.

Bu doğrulara doğru demeti denir.

Doğrusal olmayan üç noktadan bir düzlen geçer.

Düzlem: Her yönden sınırsız uzadığını varsaydığımız düzgün yüzeylerdir. Ayrıca doğrusal olmayan  herhangi 3 nokta bir düzlem belirtir.

Uzay: İçinde yaşadığımız boşluğa uzay denir.

Doğru Parçası: Bir doğru üzerinde  iki nokta ve bu iki nokta arasında kalan parçaya doğru parçası denir.

[ AB ]  sembolü ile ifade edilir ve “AB doğru parçası” şeklinde okunur.

Işın: Doğru parçasının bir ucunun sınırsız  uzatılmış haline denir.

Doğrusal nokta kümelerinin gösterimi

[AB] sembolüyle gösterilir.

[AB]  AB doğru parçası

|AB|  AB doğru parçasının uzunluğu 

DOĞRUNUN VE DÜZLEMİN BİR BİRİNE GÖRE DURUMLARI

1-) DOĞRULARIN BİR BİRİNE GÖRE DURUMLARI

a-) Kesişen iki doğrunun yalnız bir ortak noktası vardır.

b-) Paralel doğruların ortak noktası yoktur. Ayrıca paralellik   //  ile sembolize edilir.

c-) Düzlemde bir noktadan çok sayıda doğru geçer

d-) Aynı düzlemde bulunan 3 doğru ikişer ikişer kesişebilir.           

Aykırı Doğrular: Ortak noktaları olmayan ve birbirine paralel olmayan  doğrulara aykırı doğrular denir.

2-) DÜZLEMLERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI

Doğrusal olmayan 3 noktanın bir düzlem oluşturduğunu daha önce ifade etmiştik.

Buna ilaveten paralel iki doğru ve kesişen iki doğru bir düzlem belirtirler.

Ayrıca uzayda kesişen iki düzlem bir doğru boyunca kesişirler.

Kesişen iki düzlemin ortak doğrusuna arakesit doğrusu denir.

Paralel düzlem:Hiç kesişmeyen düzlemlere denir.

Düzlemsel noktalar: Aynı düzlemde bulunan noktalara denir. 

3-) DOĞRU VE DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI

Bir doğrunun tüm noktaları düzlemin içinde ise doğru düzlemin elemanıdır.
Doğruyla düzlemin bir tek ortak noktası varsa doğru düzlemi keser.

Ardışık doğal sayılar;0,1,2,3,4,…

Ardışık tek sayılar; … -3,-1,1,3,…

Ardışık çift sayılar; … -4,-2,0,2,4,…

4 ün katı olan ardışık doğal sayılar; 0,4,8,…

Ardışık tek sayılar 2n-1,2n+1,2n+3,… ile ifade edilirken

ardışık çift sayılar 2n,2n+2,2n+4… ile ifade  edilir.

n bir tam sayı olmak üzere,

1-Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

2-Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

3-Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

4-Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.

UYARI : İki ardışık sayının toplamı daima tektir.  Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir.

Ardışık sayıların terim sayısını veren formül:

TERİM SAYISI =

Ardışık sayıların toplamını veren formül:

TOPLAM =

Ardışık sayıların toplamı =1 + 2 + 3 +………….+ n =

ÖRNEK: 1 + 2 + 3 +…………+ 99 + 100 = ? n =

Ardışık tek sayıların toplamı: 1 + 3 + 5 + 7 +……..+ (2n – 1) =

ÖRNEK: 1 + 3 + 5 +……….+99 =?  (2n – 1)=99,  2n=100,   n=50    =2500 bulunur.

Ardışık çift sayıların toplamı : 2 + 4 + 6 + 8+………..+(2n) = n(n + 1)

ÖRNEK = 2 + 4 + 6 +…….+100=?    2n=100,   n=50,   50.51=2550 bulunur.

SORU : İki ardışık sayının toplamı 73 ise bu sayılar kaçtır?

YANIT : 73 – 1 = 72,       72 : 2 = 36 Küçük sayı.   36 + 1 =37 Büyük sayı.

SORU : İki ardışık çift sayının toplamı  78 ise bu sayılar kaçtır?

YANIT : 78 – 2 = 76,        76 : 2 = 38 Küçük sayı.  38 + 2 = 40 Büyük sayı.

SORU : Tek ardışık iki sayının toplamı  88 olduğuna göre bu sayılar kaçtır?

YANIT : 88 – 2 = 86 ,       86 : 2 = 43 Küçük sayı.  43 + 2 = 45 Büyük sayı.

SORU : Üç ardışık doğal sayının toplamı 273 ise bu sayılar kaçtır?

YANIT : 273 – 3 = 270,    270 : 3 = 90 Küçük sayı.  90 + 1 = 91 Ortadaki sayı. 91 + 1 = 92 Büyük sayı.

SORU : Dört ardışık tek sayının toplamı 56’ dır. Bu sayılar kaçtır?

YANIT : (1-3-5-7) aralık top:12,   56 – 12 = 44,   44 : 4 = 11 birinci sayı. (11,13,15,17) olur.

SORU : Dört ardışık çift sayının toplamı 92’ dir.  Bu sayılar kaçtır?

YANIT :  (2-4-6-8) aralık top:12,   92 – 12 = 80,    80 : 4 = 20 birinci sayı. (20-22-24-26)

SORU = 125 X ? = 750

YANIT = 750 : 125 = 6 olur.

SORU = (256 : 16) X ? = 80 verilmeyen sayı kaç olur.

YANIT = 16 X ? = 80,    80 : 16 = 5 OLUR.

SORU =Beş ardışık doğal sayının toplamı 258’dir.Bu sayılardan 3. sü kaçtır.

YANIT: 258:6=43 ortadaki iki sayı arasında kalan tek sayıya eşittir.3. sayı 43-1=42’dir.

SORU =Beş ardışık doğal sayının toplamı 125’dir.  Büyük sayı kaçtır.

YANIT: 125: 5= 25    Ortadaki sayıya eşittir.

25+ 2= 27     Büyük sayıdır.

SORU =-  Üç basamaklı,3’ün katı olan kaç sayı vardır.

YANIT:  3’ün katı olan sayılar, üçer  üçer  artan ardışık sayılardır.

3-6-9-12-15…………..102-105………….996-999

Bu sayıların her biri 3’e bölündüğünde ardışık sayılar elde edilir.

1,2,3,4…………….33,34,35…………..332,333

333 tane.   baştan 33tane.   333 -33 =300 tane sayı vardır.

SORU =-Rakamları faklı ,beş basamaklı,en küçük sayı ile  dört basamaklı en küçük tek sayının toplamı kaçtır?

YANIT:   10 234 + 1001 =11 235 olur.

SORU =   (0, 5 ,6 , Rakamlarının tümünü kullanarak oluşturulan en büyük sayı ile dört basamaklı en küçük tek sayı arasındaki fark kaçtır?

YANIT = 8650 – 6085 = 2565 bulunur.

SORU =-   7020 < 9854 –A   ifadesini sağlayan  A   doğal sayısının en büyük değeri kaçtır?

YANIT = 7020 < 9854 – A ,                    A<9854 – 7020 ,         A< 2834 olduğundan;

A yerine en çok 2833 yazılabilir.

SORU =8080 : 80  bölme işleminde bölen, bölümden kaç eksiktir?

YANIT = 8080 : 80 = 101 BÖLÜM, 80 BÖLEN,   101 – 80 = 21 eksiktir.

SORU =4848 : 24 – + 14 . 5< M ifadesine uyan en küçük M sayısı kaç olur.

YANIT = 4848:24=202         202 – 12 + 70 < M,    190 + 70< M,    260< M ise

M’  nin  en küçük değeri 261’dir.

SORU =    . 7 + 60 :4 – 15 işleminin sonucu kaç olur?

YANIT = = 4 .4 =16 ,    16 . 7 = 112,   15 – 15 =0 ol.  Sonuç: 112 olur.

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.

•   A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.

•   A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

•   A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir.

•   A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

•   A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.

•   A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:

•   A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.

•   A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı

– (a + b + c) dir.

•   A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

•   A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

A)Üçgen

Bir doğru üzerinde olmayan (doğrusal olmayan) A,B,C gibi üç noktanın birleşiminden oluşan kapalı şekle ÜÇGEN denir.

(ABC Üçgeni)=[AB]U[AC]U[CB]                                                                       DIŞ

BÖLGE

Bir üçgen noktalar kümesidir ve içinde bulunduğu                             İÇ

düzlemi üç ayrı noktalar kümesine ayırır. Bunlar;                                       BÖLGE

a)Üçgenin İçinde Kalan Noktalar Kümesi

b)Üçgenin Kendisi

c)Üçgenin Dışında Kalan Noktalar Kümesi

B)Bir Üçgenin Temel Elemanları

1.Üçgenin Kenarları:[BC],[AC},[AB] doğru parçalarına “Üçgenin Kenarları” denir. Kenar uzunlukları karşılarındaki açıların kenarlarıyla adlandırılırlar.

2.Üçgenin İç Açıları:Üçgenin iki kenarının oluşturduğu her bir açı “Üçgenin İç Açısı” olarak adlandırılır. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180º`dir.
3.Üçgenin Dış Açıları:Üçgenin iç açılarının komşu bütünleri olan açılara “Üçgenin Dış Açıları” denir. Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bir üçgenin iç açısıyla dış açısının toplamı 180º`dir. Bir üçgenin dış açıları toplamı ise 360º`dir.

C)Bir Üçgenin Yardımcı Elemanları

1.Üçgenin Yüksekliği:Üçgenin bir köşesinden karşı tarafa indirilen,  köşe ile kenar arasında aklan doğru parçasına “Üçgenin Yüksekliği” denir.”H” ile gösterilir.

2.Üçgenin Kenar Ortayları:Üçgenin bir köşe ile bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına “Üçgenin Kenar Ortayı” denir. “V” ile gösterilir.

3.Üçgenin Açı Ortayı:Üçgenin açılarını iki eş açıya bölen doğruların,köşe ile kenar arasında kalan doğru parçasına “ÜÇGENİN AÇI ORTAYI” denir. ” N” ile gösterilir.

D)Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağlantılar

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenar uzunluğundan büyük; iki kenar uzunluğunun farkı, üçüncü kenarı uzunluğunda küçüktür.

E)Üçgenin Açıları Arasındaki Bağlantılar

Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile diş açının toplamı 180º`dir.

Bir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

F)Üçgenin Kenar Uzunluklar ve Açıları Arasındaki Bağlantılar

Bir üçgende ölçüsü büyük olan kenar karşısında büyük açı, küçük olan kenar karşısında küçük kenar vardır.

G)Üçgenin Çeşitleri

1.Kenarlarına Göre Üçgenler

a)Çeşit Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi farklıysa bu üçgene “Çeşit Kenar Üçgen” denir.

b)İkiz Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının iki tanesi eşit olan üçgene “İkiz Kenar Üçgen” denir. Bir ikizkenar üçgenin, taban açıların ölçüleri birbirine eşittir.

c)Eşkenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi eşit olan üçgene “Eşkenar Üçgen” denir. Bir eşkenar üçgenin iç açıları 60 `dir.

2.Açılarına Göre Üçgenler

a)Dar Açılı Üçgen:Üçgenin açılarından her birinin ölçüsü 90º`den küçük olan üçgene “Dar Açılı Üçgen” denir.

b)Geniş Açılı Üçgen:Bir açısı geniş açı olan üçgene “Geniş Açılı Üçgen” denir.

c)Dik Açılı Üçgen:Açılarından birisi dik açı olan üçgene “Dik Açılı Üçgen” denir.

H)Üçgenin Alanını ve Çevresini Bulma

Üçgenin çevresini bulabilmek için kenarlar toplanır.

Ç = a + b + c

Üçgenin alanını bulmak için yükseklikle kenar çarpılır ve ikiye bölünür.

h x a       h x b     h x c

A= ——- = ——- = ——-

2             2            2

d)Ters Açılar:Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları olan iki açıya TERS AÇI denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

9)Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

a)Yöndeş Açılar:Şekildeki A ve F, D ve G, E ve C, B ve H gibi

konumlanan açılara YÖNDEŞ AÇILAR denir. Yöndeş açılar                          C       A

birbirine eşittir.                                                                                                                      D     B

E   F

b)Ters Açılar:Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları                  G   H

olan iki açıya TERS AÇI denir. Ters açıların ölçüleri birbirine

eşittir.

c)Dış Ters Açılar:Şekildeki G ve A, H ve C açıları gibi konumlanan açılara DIŞ TERS AÇILAR denir. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

d)İç Ters Açılar:Şekildeki B ve E, D ve F açıları gibi konumlanan açılara İÇ TERS AÇILAR denir.

e)Karşı Konumlu Açılar:Şekildeki B ve F,E ve D açıları gibi konumlanan açılara KARŞI KONUMLU AÇILAR denir. Karşı konumlu açıların toplamı 180º`dir.

C)Açı Ortay

Bir açının kollarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların belirttiği şekle AÇI ORTAY denir. Açı ortay açıyı iki eş açıya ayırır. Açı ortay üzerindeki her nokta açının kollarından eşit uzaklıktadır.

A)Açı

Aynı doğru üzerinde olmayan, başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine AÇI denir.

Açıyı oluşturan iki ışının kesişim kümesine                   DIŞ                    BÖLGE

AÇININ KÖŞESİ, bu ışınlara ise AÇININ KOLLARI

denir.                                                                                                  İÇ BÖLGE

Açılar üç şekilde okunur;

1)Işınların nokta adları alınarak:

(ABC)açısı=(CBA)açısı

2)Sadece başlangıç noktası alınarak:

(B)açısı şeklinde.

Bir açı, bulunduğu bölgeyi üç bölgeye ayırır;

1.Açının Kendisi

2.Açının Dış Bölgesi

3.Açının  İç Bölgesi

Açı ölçüsü DERECEDİR. Açıların ölçüsünü bulmak için AÇI ÖLÇER veya İLETKİ kullanılır.

B)Özel Açılar

1)Dar Açı:Ölçüsü 0º `den büyük ve 90º`den küçük açılara DAR AÇI denir.

2)Dik Açı:Ölçüsü 90º olan açıya DİK AÇI denir.

3)Geniş Açı:Ölçüsü 90º`den büyük 180º`den küçük olan açıya GENİŞ AÇI demir.

4)Doğru Açı:Ölçüsü 180º olan açıya DOĞRU AÇI denir.

5)Tam Açı:Ölçüsü 360º olan açıya TAM AÇI denir.

6)Tümler Açı:İki açının ölçüleri toplamı  90º  olan açıya TÜMLER AÇI denir.

7)Bütünler Açı:İki açının ölçüleri toplamı 180º  ise bu açılara BÜTÜNLER AÇI denir.

8)Bir Noktada Kesişen İki Doğrunun Oluşturduğu Açılar:

a)Komşu Açılar:Başlangıç noktaları aynı iki veya daha fazla açıya KOMŞU AÇILAR denir.

b)Komşu Tümler Açılar: Başlangıç noktaları aynı, ölçüleri toplamı 90º olan iki farklı açıya KOMŞU TÜMLER AÇILAR denir.